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In mwawfisica, in primo luogo in mwbacinematica, lmwbq'mwbgaccelerazione è una mwbwgrandezza vettoriale che rappresenta la variazione della mwcavelocità nell'unità di mwcqtempo. In termini differenziali, è pari alla mwcgderivata rispetto al mwcwtempo del vettore velocità.cite-ref-1[1] Nel mweaSI l'mwequnità di misura del modulo dell'accelerazione è il mwegm/mwews², ovvero mwfametro al secondo quadrato. Le derivate temporali della velocità di ordine superiore al primo vengono studiate nel mwfqmoto vario.

Quando non specificato, per "accelerazione" si intende lmwfw'mwgaaccelerazione traslazionale, sottintendendo che lo spostamento a cui si fa riferimento è una mwgqtraslazione nello spazio. Il termine, "accelerazione", infatti, può essere utilizzato con un significato più generale per indicare la variazione di una mwggvelocità in funzione del tempo. Ad esempio, nella descrizione del mwgwmoto mwharotatorio, per definire lmwhq'mwhgaccelerazione di rotazione si usano l'mwhwaccelerazione angolare e l'mwiaaccelerazione areolare.

• Definizione

• Componenti dell'accelerazione

• Moto rettilineo

• Moto circolare

• Accelerazioni apparenti

• Significato geometrico

• Accelerazione nei sistemi di punti materiali

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

L'accelerazione di un mwkqpunto materiale è la variazione della sua mwkgvelocità rispetto al tempo. Il modo più immediato per quantificare tale variazione consiste nel definire lmwkw'mwlaaccelerazione media mwlq a ¯ ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}} come il rapporto tra la variazione di velocità mwlg Δ Δ v = v 2 − − v 1 {\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}} al tempo finale mwlw v 2 = v ( t 2 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} (t_{2})} e iniziale mwma v 1 = v ( t 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} (t_{1})} posseduta dall'oggetto, e l'intervallo finito di tempo mwmq Δ Δ t = t 2 − − t 1 {\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}} di durata del moto:cite-ref-2[2]

mwoa a ¯ ¯ = v 2 − − v 1 t 2 − − t 1 = Δ Δ v Δ Δ t {\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}

Un modo preciso per caratterizzare l'accelerazione si ottiene considerando la velocità in ogni istante di tempo, ovvero esprimendo la velocità in funzione del tempo e, ove la funzione è continua, calcolandone la mwogderivata. Si definisce in questo modo lmwow'mwpaaccelerazione istantanea:

mwpw a ( t ) = d v ( t ) d t {\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t}}}

Si tratta del limite per l'intervallo di tempo tendente a zero del mwqqrapporto incrementale che definisce l'accelerazione media:

mwra a = lim Δ Δ t → → 0 Δ Δ v Δ Δ t = lim Δ Δ t → → 0 v ( t + Δ Δ t ) − − v ( t ) Δ Δ t {\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {v} (t+\Delta \ t)-\mathbf {v} (t)}{\Delta t}}}

L'accelerazione media coincide con l'accelerazione istantanea quando quest'ultima è costante nel tempo (mwrg a ( t ) = costante {\displaystyle \mathbf {a} (t)={\text{costante}}} ), e si parla in tal caso di mwrwmoto uniformemente accelerato.

Nel moto del punto materiale su una curva, il vettore accelerazione in un punto è orientato verso la concavità della traiettoria in quel punto. Può succedere che durante il moto il vettore velocità cambi soltanto in direzione e verso, restando costante in modulo, come ad esempio nel caso di mwsqmoto circolare uniforme. La componente del vettore accelerazione nella direzione del moto è in questo caso nulla, e il vettore è quindi radiale (perpendicolare alla traiettoria). Data una traiettoria curvilinea arbitraria e continua, per individuare la direzione ed il verso dell'accelerazione di un oggetto che la percorre si utilizza il metodo del mwsgcerchio osculatore.

In un contesto più formale, sia mwta s ( t ) {\displaystyle s(t)} la mwtqlunghezza di un arco della mwtgcurva percorsa dall'oggetto in moto. Se mwtw d s {\displaystyle ds} è lo spostamento dell'oggetto nel tempo mwua d t {\displaystyle dt} , la mwuqnorma della velocità istantanea nel punto mwug r = ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)} è la derivata dello spostamento rispetto al tempo:cite-ref-mathworld-3-0[3]

mwwq v = d s d t = d d t ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) = ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\right)={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}}

con il vettore velocità che è quindi scritto come:

mwxq v = v T ^ ^ {\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {\hat {\mathbf {T} }} }

dove mwxw T ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}} è il vettore unitario tangente alla curva. Il modulo dell'accelerazione istantanea è allora:

mwyg a = d v d t = d 2 s d t 2 = d x d t d 2 x d t 2 + d y d t d 2 y d t 2 + d z d t d 2 z d t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 = d x d s d 2 x d t 2 + d y d s d 2 y d t 2 + d z d s d 2 z d t 2 = d r d s ⋅ ⋅ d 2 r d t 2 {\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}}={\frac {dx}{ds}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{ds}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{ds}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\cdot {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}

ed il vettore accelerazione è dato da:cite-ref-mathworld-3-1[3]

mwag a = d v d t = d 2 r d t 2 = d 2 s d t 2 T ^ ^ + k ( d s d t ) 2 N ^ ^ {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\hat {\mathbf {T} }}+k\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}{\hat {\mathbf {N} }}}

dove mwba k {\displaystyle k} è la mwbqcurvatura e si sono evidenziate la componente in direzione del moto e la componente in direzione perpendicolare, con mwbg N ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}} vettore unitario normale alla curva. In generale è possibile introdurre una terna di versori ortonormali, detta mwbwtriedro di Frenet, costituita ortogonalizzando i vettori velocità, accelerazione ed un terzo vettore, generato dal prodotto vettoriale dei primi due. I versori così generati prendono il nome di mwcaversore tangente, mwcqnormale e mwcgbinormale. L'accelerazione giace sempre, per costruzione, nel piano individuato dal versore tangente e da quello normale. La mwcwgeometria differenziale sfrutta il triedro di Frenet per permettere di calcolare in ogni punto la mwdacurvatura e la mwdqtorsione della traiettoria.

In uno spazio a tre dimensioni si può scrivere l'accelerazione come:

mwfg a = a x i ^ ^ + a y j ^ ^ + a z k ^ ^ {\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {k} }}}

dove mwga i ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}} , mwgq j ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}} e mwgg k ^ ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} sono i versori del mwgwsistema di riferimento cartesiano utilizzato. Poiché, nella sua definizione generale, l'accelerazione è il vettore che quantifica la variazione di direzione e modulo della velocità, data una traiettoria qualsiasi, è sempre possibile scomporre l'accelerazione del corpo in una componente ad essa tangente, detta mwhaaccelerazione tangenziale, e in una componente perpendicolare, detta mwhqaccelerazione normale:

mwia a = a t T ^ ^ + a n N ^ ^ {\displaystyle \mathbf {a} =a_{t}{\hat {\mathbf {T} }}+a_{n}{\hat {\mathbf {N} }}}

L'accelerazione tangenziale descrive il cambiamento in mwignorma della velocità, mentre quella normale è associata alla variazione della direzione della velocità.cite-ref-4[4]

Sapendo che la mwkavelocità lineare mwkq v {\displaystyle \mathbf {v} } , che è sempre tangente alla traiettoria, è legata alla mwkgvelocità angolare mwkw ω ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} dalla relazione:

mwlg v = ω ω × × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

dove mwma × × {\displaystyle \times } denota il mwmqprodotto vettoriale, mwmg ω ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} la mwmwvelocità angolare e mwna r {\displaystyle \mathbf {r} } il mwnqraggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato. Pertanto mwng v {\displaystyle \mathbf {v} } è ortogonale al piano formato da mwnw ω ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} e da mwoa r {\displaystyle \mathbf {r} } , e viceversa, il vettore mwoq ω ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} è ortogonale al piano formato da mwog v {\displaystyle \mathbf {v} } e da mwow r {\displaystyle \mathbf {r} } , cioè dal piano sul quale avviene il moto.

Data una traiettoria mwqq C {\displaystyle C} giacente in un piano, e tracciato per un punto mwqg P {\displaystyle P} in moto il mwqwcerchio osculatore, ovvero la circonferenza tangente in ogni istante alla traiettoria in mwramwrq P {\displaystyle P} , la quale approssima al meglio la traiettoria in quel punto, si trova che:

mwsa a = d v d t = d d t ( ω ω × × r ) = ω ω × × r ˙ ˙ + ω ω ˙ ˙ × × r = α α × × r + ω ω × × v {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )={\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }

dove mwsg α α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} è l'mwswaccelerazione angolare. Considerando la mwtaderivata del vettore velocità mwtq v = v T ^ ^ {\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {T} }}} , si ha:

mwua a = d v d t = d d t ( v T ^ ^ ) = d v d t T ^ ^ + d T ^ ^ d t v = d v d t T ^ ^ + v 2 r N ^ ^ {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v{\hat {\mathbf {T} }})={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} t}}v={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}+{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}}

Eguagliando quanto ottenuto dalle equazioni precedenti e identificando i termini si ha che le componenti sono:

mwva a t = d v d t T ^ ^ = α α × × r a n = v 2 r N ^ ^ = ω ω × × v {\displaystyle \mathbf {a} _{t}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} \qquad \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }

In due dimensioni il versore normale è univocamente determinato, mentre in tre dimensioni bisogna specificarlo; infatti, esso risulta parallelo al raggio del cerchio osculatore.

Da quanto mostrato segue inoltre che se la componente normale dell'accelerazione è nulla, allora il moto si svolge su una retta; infatti, la direzione del vettore velocità è costante, e dato che la velocità è sempre tangente alla traiettoria, quest'ultima è rettilinea. Nel caso in cui l'accelerazione tangenziale sia costante si ha un mwwamoto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, anche la componente tangenziale dell'accelerazione sia nulla, il vettore velocità è allora costante e si ha un mwwqmoto rettilineo uniforme.

Viceversa, se a essere costante è la componente normale la traiettoria risulterà circolare. In questo caso, essa prenderà il nome di mwyqaccelerazione centripetacite-ref-5[5] perché punta istante per istante verso il centro della circonferenza. Se l'accelerazione angolare, quindi anche l'accelerazione tangenziale, è costante, si ha un moto circolare uniformemente accelerato. Invece, nel caso di moto circolare uniforme l'accelerazione angolare è nulla, per cui l'accelerazione si riduce alla sola componente centripeta, pertanto la velocità angolare sarà costante nel tempo.

Un osservatore solidale a un mw0asistema di riferimento non inerziale sperimenterà delle accelerazioni apparenti. Per il mw0qteorema delle accelerazioni di Coriolis, le accelerazioni apparenti dall'osservatore sono due: la prima detta mw0gaccelerazione centrifuga, avente modulo e direzione identici all'accelerazione centripeta, ma con verso opposto, e la seconda che prende il nome di mw0waccelerazione complementare, o mw1aaccelerazione di Coriolis, il cui valore è:

mw1w a Co = − − 2 ω ω × × v {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{Co}}=-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }

L'accelerazione media si rappresenta con il grafico velocità-tempo, dal quale si comprende come l'accelerazione media sia uguale alla pendenza della mw3wretta che congiunge i punti iniziale e finale del grafico velocità-tempo in cui andiamo a calcolare la media.

L'accelerazione istantanea è la mw4qtangente alla curva velocità-tempo nel punto fissato, così come è il significato geometrico della derivata prima. Essa è quindi uguale alla mw4gpendenza della retta tangente alla curva nel punto in cui viene calcolata.

Attraverso lo studio della curva nel grafico velocità-tempo si possono ricavare ulteriori importanti informazioni: dall'angolo che la tangente forma con l'asse del tempo si evince che l'accelerazione è negativa se la tangente forma un angolo superiore ai 90 gradi con l'asse delle ascisse, è positiva se rimane sotto i 90 gradi mentre è nulla se la tangente è parallela all'asse. Inoltre, si noti come a valori positivi della curva accelerazione-tempo corrispondano valori crescenti della curva velocità-tempo. Poiché l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, si può anche ricavare l'andamento della relazione accelerazione-tempo anche studiando la mw5aconcavità del grafico.

Se gli mw5w n {\displaystyle n} punti materiali di un sistema sono in movimento, solitamente, la posizione del mw6acentro di massa varia. Pertanto, nell'ipotesi in cui la massa totale mw6q m = ∑ ∑ i = 1 n {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}} sia costante, l'accelerazione del centro di massa sarà:

mw7a a G = d v G d t = d d t p m = m ( d m d t ∑ ∑ i = 1 n v i + m ∑ ∑ i = 1 n d v i d t ) + p d m d t m 2 = F ( e ) m {\displaystyle \mathbf {a} _{G}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{G}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\displaystyle {{\cancel {m}}\left({\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {v} _{i}+m\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}}{\mathrm {d} t}}\right)+\mathbf {p} {\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}}}{m^{\cancel {2}}}}={\frac {\mathbf {F} ^{(e)}}{m}}}

dove mw7g p {\displaystyle \mathbf {p} } la mw7wquantità di moto totale del sistema e mw8a F ( e ) {\displaystyle \mathbf {F} ^{(e)}} è la sommatoria delle mw8qforze esterne.

cite-note-11. ↑ mw-g(mw-wmw-aEN) mw-qmw-gIUPAC Gold Book, "acceleration, a", su mw-wgoldbook.iupac.org.

cite-note-22. ↑ mwaqmmwaqqMcGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology.

cite-note-mathworld-33. ↑ mwaqo(mwaqsmwaqwEN) Eric W. Weisstein, mwaq0mwaq4Acceleration, su mwaq8mathworld.wolfram.com. mwaraURL consultato il 25 febbraio 2026.

cite-note-44. ↑ Infatti, la mwarqforza associata alla componente normale dell'accelerazione non compie mwarulavoro sull'oggetto, essendo nullo il mwaryprodotto scalare della forza con lo spostamento.

cite-note-55. ↑ mwaromwarsmwarwAccelerazione centripeta, su mwar0britannica.com.

• citerefmcgraw-hill-concise-encyclopedia-of-science-and-technology(EN) McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology - "Acceleration", New York, McGraw-Hill, 2006.

• mwasi(EN) Henry Crew, The Principles of Mechanics, BiblioBazaar, LLC, 2008, p. 43, ISBN 0-559-36871-2.

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• mwatmAccelerazione centripeta

• mwatuCirconferenza dei flessi

• mwatcDerivata

• mwatkEquazione del moto

• mwatsMoto rettilineo uniforme

• mwat0Moto uniformemente accelerato

• mwat8Moto circolare uniforme

• mwaueMoto parabolico

• mwaumVelocità

• mwauuMetro al secondo quadrato

• mwaucStrappo - la derivata dell'accelerazione rispetto al tempo

Altri progetti

• Wikizionario

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• citereftreccani-itaccelerazione, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Acceleration, su MathWorld, Wolfram Research.

• citereftreccani-accelerazioneAccelerazione, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.